7 ways to calculate the total area of ​​certain geometric figures

The surface of a planar object or in space consists of the sum of the surfaces of the faces that compose it. The numerical value of this surface is called the area of ​​the surface. Regarding the surface areas of solids, the calculations are generally quite simple, provided you know, and use wisely, the right calculation formulas. In fact, in this kind of calculations, you must first determine the number and shape of the different faces of the solid, and then remember the formulas for calculating the associated areas. Except for very specific solids, you should calculate these areas without problems.

Steps

Method 1 of 7: Calculate the surface area of ​​a cube

Step 1. Remember the formula for calculating the surface area of ​​the cube

A cube is a solid that has six absolutely identical square faces. A square face of side a { displaystyle a}

a une aire de: a2{displaystyle a^{2}}

. Comme il y a six faces identiques dans un cube, l'aire totale d'un cube (A{displaystyle A}

) est égale à: A=6a2{displaystyle A=6a^{2}}

, dans laquelle a{displaystyle a}

est, comme cela a été précisé précédemment, aussi bien la longueur que la largeur d'un côté.

• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the length of one side

Since all sides are by definition equal, you only have one measurement to make: measure any of them. For measurement, take a ruler and be precise, don't confuse the units.

• We will call a { displaystyle a}

  

  la mesure du côté d'une face carrée.

• Exemple: a=2 cm{displaystyle a=2\ cm}

Step 3. Square up that length

The measurement you just made, you need to squared, that is, multiply by itself. If it is easier for you, you can use the equivalent formula: A = 6 × a × a { displaystyle A = 6 \ times { text {a}} times { text {a}}}

• Nous commençons donc par calculer l'aire d'une des faces du cube.
• Exemple: a=2 cm{displaystyle a=2\ cm}

• a2=2 cm×2 cm=4 cm2{displaystyle a^{2}=2\ cm\times 2\ cm=4\ cm^{2}}

Step 4. Multiply this result by 6

Remember: a cube has six absolutely identical square faces. As you have just calculated the area of ​​one of the faces, all you have to do is multiply it by 6.

• At this point, begins the calculation of the total area of ​​the cube (At { displaystyle A_ {t}}

  

  ).

• Exemple: a2=4 cm2{displaystyle a^{2}=4\ cm^{2}}

• At=6×a2=6×4 cm2=24 cm2{displaystyle A_{t}=6\times a^{2}=6\times 4\ cm^{2}=24\ cm^{2}}

Méthode 2 sur 7: Calculer l'aire de surface d'un parallélépipède

Step 1. Remember the formula for calculating the surface area of ​​the parallelepiped

As with the cube, you can see that this solid has six faces, they just aren't the same. In fact, the faces are identical, but only two by two and in opposite position. Based on this description, the formula for calculating the area of ​​a parallelepiped (A { displaystyle A}

) se présente ainsi: A=2ab+2bc+2ac{displaystyle A=2ab+2bc+2ac}

• Dans cette formule, a{displaystyle a}


est la largeur du parallélépipède, b{displaystyle b}



, sa hauteur, et enfin, c{displaystyle c}



, sa longueur.

• Si vous décomposez la formule, vous retrouvez bien les trois séries de deux faces identiques, dont les aires sont additionnées pour donner l'aire totale.
• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the length, height and width of the cuboid

With such a solid, these three dimensions are different from each other, so you must measure them precisely and record the results. Of course, all of these measurements will be in the same unit.

• Measure the length of the base, that is, the longest length, which we will call c { displaystyle c}

  

• Exemple: c=5 cm{displaystyle c=5\ cm}

• Mesurez la largeur de la base, soit la longueur la plus petite, nous l'appellerons a{displaystyle a}

• Exemple: a=2 cm{displaystyle a=2\ cm}

• Mesurez la hauteur du parallélépipède, c'est-à-dire la longueur qui va du bas du solide au sommet et nous l'appellerons b{displaystyle b}

• Exemple: b=3 cm{displaystyle b=3\ cm}

Step 3. Calculate the area of ​​the lower face (Ai { displaystyle A_ {i}}

) du parallélépipède.

Vous la multiplierez par 2, car il y a deux faces de ce type, en position opposée. Pour la face de dessous, multipliez la longueur par la largeur, soit c{displaystyle c}

par a{displaystyle a}

. La face opposée, soit supérieure (As{displaystyle A_{s}}

), a la même aire, d'où la nécessité de multiplier par 2.

• Exemple: Ai+As=2×(a×c)=2×(2×5)=2×10=20 cm2{displaystyle A_{i}+A_{s}=2\times (a\times c)=2\times (2\times 5)=2\times 10=20\ cm^{2}}

Step 4. Calculate the area of ​​the side face (Ag { displaystyle A_ {g}}

) du parallélépipède.

Là encore, vous devez la multiplier par 2, car il y a une même face opposée. Pour la face du côté gauche, multipliez la largeur par la hauteur, soit a{displaystyle a}

par b{displaystyle b}

. La face opposée, soit la face du côté droit (Ad{displaystyle A_{d}}

), a la même aire, d'où la nécessité de multiplier par 2.

• Exemple: Ad+Ag=2×(a×b)=2×(2×3)=2×6=12 cm2{displaystyle A_{d}+A_{g}=2\times (a\times b)=2\times (2\times 3)=2\times 6=12\ cm^{2}}

Step 5. Calculate the area of ​​the front face

As before, you have two identical sides, the front one (Aav { displaystyle A_ {av}}

) et celle de derrière (Aar{displaystyle A_{ar}}

). Multipliez la longueur par la largeur, soit b{displaystyle b}

par c{displaystyle c}

. Pour terminer, multipliez ce résultat par 2.

• Exemple: Aav+Aar=2×(b×c)=2×(3×5)=2×15=30 cm2{displaystyle A_{av}+A_{ar}=2\times (b\times c)=2\times (3\times 5)=2\times 15=30\ cm^{2}}

Step 6. Add these three areas

You have calculated the areas of the opposite faces and you have thus gone around all the faces, without forgetting a single one: you must add them to have the total surface area (At { displaystyle A_ {t}}

) du parallélépipède en question.

• Exemple: At=2ab+2bc+2ac{displaystyle A_{t}=2ab+2bc+2ac}


At=(Ai+As)+(Ad+Ag)+(Aav+Aar)=12+30+20=62 cm2{displaystyle A_{t}=(A_{i}+A_{s})+(A_{d}+A_{g})+(A_{av}+A_{ar})=12+30+20=62\ cm^{2}}

Méthode 3 sur 7: Calculer l'aire de surface d'un prisme triangulaire

Step 1. Remember the formula for calculating the surface area of ​​the triangular prism

Such a polyhedron has two triangular faces, which are parallel and of the same dimensions, and three rectangular faces. So you have to find the areas of these five faces and add them. The formula can be simplified as: At = 2Atriangle + ph { displaystyle A_ {t} = 2A_ {triangle} + ph}

, formule dans laquelle Atriangle{displaystyle A_{triangle}}

est l'aire d'une des bases triangulaires, p{displaystyle p}

, le périmètre de la base triangulaire et h{displaystyle h}

, la hauteur du prisme.

• Dans cette formule, Atriangle{displaystyle A_{triangle}}


est l'aire d'un des deux triangles, dont la formule est: Atriangle=12bh{displaystyle A_{triangle}={frac {1}{2}}bh}



, b{displaystyle b}



étant la base du triangle et h{displaystyle h}



, sa hauteur associée.

• p{displaystyle p}


est le périmètre d'un des triangles identiques, c'est-à-dire la somme des longueurs de ses trois côtés.

• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. First, calculate the area of ​​one of the triangular faces

Then multiply this result by 2. As has been said, the area of ​​a triangle is obtained with the formula: Atriangle = 12bh { displaystyle A_ {triangle} = { frac {1} {2}} bh}

, dans laquelle b{displaystyle b}

est une base du triangle et h{displaystyle h}

, sa hauteur associée. Comme il y a deux faces du même type, il faudra multiplier le résultat par 2, ce qui fait que la formule de l'aire des deux triangles est en fait: bh{displaystyle bh}

• La base (b{displaystyle b}


) est une des longueurs du triangle, celle que vous voulez.

• Exemple: b=4 cm{displaystyle b=4\ cm}

• La hauteur (h{displaystyle h}


) de cette même base est la longueur qui va du sommet opposé à la base et coupe cette dernière à angle droit.

• Exemple: h=3 cm{displaystyle h=3\ cm}


• L'aire des deux triangles de base est donc:

  2×12bh=bh=4×3=12 cm2{displaystyle 2\times {frac {1}{2}}bh=bh=4\times 3=12\ cm^{2}}

  

Step 3. Measure the perimeter of one of the triangles

To do this, measure each side precisely, then add them up. Also measure the height (h { displaystyle h}

) du prisme, cette dimension est la longueur qui va d'une face triangulaire à l'autre.

• Exemple: h=5 cm{displaystyle h=5\ cm}

• Si les trois sommets du triangle s'appellent A{displaystyle A}


, B{displaystyle B}



et C{displaystyle C}



, mesurez AB, BC{displaystyle AB, \ BC}



et CA{displaystyle CA}


• Exemple: AB=2 cm, BC=4 cm, CA=6 cm{displaystyle AB=2\ cm, BC=4\ cm, CA=6\ cm}

Step 4. Calculate the perimeter (p { displaystyle p}

) du triangle.

Celui s'obtient simplement en additionnant les longueurs des côtés mentionnés plus haut, soit AB+BC+CA{displaystyle AB+BC+CA}

• Exemple: p=AB+BC+CA=2+4+6=12 cm{displaystyle p=AB+BC+CA=2+4+6=12\ cm}

Step 5. Multiply this perimeter by the height of the prism

As a reminder, the latter is the length that goes from one triangular face to the other. At this point, multiply p { displaystyle p}

par h{displaystyle h}

• Exemple: ph=12×5=60 cm2{displaystyle ph=12\times 5=60\ cm^{2}}

Step 6. Add the two areas

It consists in adding to the area of ​​the bases (2 faces) and the lateral area of ​​the prism (3 faces): you then obtain the total area of ​​the solid in question.

• Example: 2Atriangle + ph = 12 + 60 = 72 cm2 { displaystyle 2A_ {triangle} + ph = 12 + 60 = 72 \ cm ^ {2}}

  

Méthode 4 sur 7: Calculer l'aire de surface d'une sphère

Step 1. Remember the formula for calculating the surface area of ​​a sphere

A sphere is a solid whose surface is made up of all points equidistant from a center. Its calculation supposes to use the mathematical constant π { displaystyle \ pi}

. La formule de l'aire de surface (A{displaystyle A}

) d'une sphère est la suivante: A=4πr2{displaystyle A=4\pi r^{2}}

• Dans cette formule, r{displaystyle r}


est le rayon de la sphère. Généralement, vous prendrez 3, 14 comme valeur arrondie de π{displaystyle \pi }


• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the radius of the sphere

The radius (r { displaystyle r}

), égal à la moitié du diamètre, est la longueur qui va du centre du cercle à un des points de la surface de la sphère.

• Exemple: r=3 cm{displaystyle r=3\ cm}

Step 3. Square the radius

To square a number, just multiply it by itself. If you want, you can rewrite the formula as: A = 4π × r × r { displaystyle A = 4 \ pi \ times r \ times r}

• Exemple: r2=r×r=3×3=9 cm2{displaystyle r^{2}=r\times r=3\times 3=9\ cm^{2}}

Step 4. Multiply this result by π

This last constant is in fact the ratio of the circumference of a circle to its diameter and is equal to approximately 3.14. It is an irrational number whose decimal writing is neither finite nor periodic, which is why it is often rounded for convenience to 3, 14. Multiply the radius squared by 3, 14 and you get the optimum disk area of ​​the sphere.

• Example: πr2 = 3.14 × 9 = 28.26 cm2 { displaystyle \ pi r ^ {2} = 3.14 \ times 9 = 28, 26 \ cm ^ {2}}

  

Step 5. Multiply this result by 4

Finally, multiply the result found by 4. It is too complicated to explain here why you have to multiply by 4, but doing so will give you the area of ​​the surface of your sphere.

• Example: 4πr2 = 4 × 28, 26 = 113, 04 cm2 { displaystyle 4 \ pi r ^ {2} = 4 \ times 28, 26 = 113, 04 \ cm ^ {2}}

  

Méthode 5 sur 7: Calculer l'aire de surface d'un cylindre

Step 1. Remember the formula for calculating the surface area of ​​the cylinder

A cylinder consists of two identical and opposite circular bases, connected by a rectangular surface. The formula for calculating the total area (At { displaystyle A_ {t}}

) du cylindre se présente comme suit: At=2πr2+2πrh{displaystyle A_{t}=2\pi r^{2}+2\pi rh}

, formule dans laquelle r{displaystyle r}

est le rayon de la base circulaire, h{displaystyle h}

, la hauteur du cylindre et π{displaystyle \pi }

, la constante bien connue, dont la valeur arrondie est 3, 14.

• 2πr2{displaystyle 2\pi r^{2}}


représente l'aire de surface des deux bases circulaires, tandis que 2πrh{displaystyle 2\pi rh}



est l'aire de la surface latérale du cylindre.

• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the radius and height of the cylinder

The radius (r { displaystyle r}

), égal à la moitié du diamètre, est la longueur qui va du centre du cercle à un des points du cercle. La hauteur (h{displaystyle h}

) est, quant à elle, la longueur qui va d'un cercle à l'autre. Servez-vous d'une règle pour ces mesures et soyez précis.

• Exemple: r=3 cm{displaystyle r=3\ cm}

• Exemple: h=5 cm{displaystyle h=5\ cm}

Step 3. Calculate twice the area of ​​the base

The base of the cylinder (there are two, in fact) is a circle, its area is obtained by applying the formula: πr2 { displaystyle \ pi r ^ {2}}

. Mesurez le rayon, élevez-le au carré (vous le multipliez par lui-même), puis multipliez le résultat obtenu par π{displaystyle \pi }

. Comme il y a deux cercles, vous devez encore multiplier par 2.

• Exemple: πr2=3, 14×3×3=28, 26 cm2{displaystyle \pi r^{2}=3, 14\times 3\times 3=28, 26\ cm^{2}}


(une base circulaire)

• Exemple: 2πr2=2×28, 26=56, 52 cm2{displaystyle 2\pi r^{2}=2\times 28, 26=56, 52\ cm^{2}}


(les deux bases circulaires)

Step 4. Calculate the lateral area of ​​the cylinder

It is the surface that unites the two base circles. it is in fact a rectangle whose width is the perimeter of the circle, and the length, the height of the cylinder. The formula is therefore: 2πrh { displaystyle 2 \ pi rh}

. Les opérations sont simples: vous multipliez le rayon par 2, puis par π{displaystyle \pi }

et enfin, par la hauteur.

• Exemple: 2πrh=2×3, 14×3×5=94, 2 cm2{displaystyle 2\pi rh=2\times 3, 14\times 3\times 5=94, 2\ cm^{2}}

Step 5. Sum the areas

Add the area of ​​the two circular faces and that of the side area. The calculation formula, A = (2πr2) + (2πrh) { displaystyle A = (2 \ pi r ^ {2}) + (2 \ pi rh)}

, reflète bien ces deux aires. Par expérience, il a été remarqué que le calcul de l'aire de surface d'un cylindre amène des erreurs, aussi faites très attention.

• Exemple: 2πr2+2πrh=56, 52+94, 2=150, 72 cm2{displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=56, 52+94, 2=150, 72\ cm^{2}}

Méthode 6 sur 7: Calculer l'aire de surface d'une pyramide à base carrée

Step 1. Use the formula for the surface area of ​​a square pyramid

Such a pyramid therefore has a square base and four triangular faces. As a reminder, the area of ​​a square is obtained by multiplying the side of the square by itself. As for the area of ​​a triangle, it is calculated with the formula: 12bh { displaystyle { frac {1} {2}} bh}

, b{displaystyle b}

étant une des bases du triangle et h{displaystyle h}

, sa hauteur associée. Comme vous avez quatre faces triangulaires, vous allez tout logiquement devoir multiplier par 4 pour avoir la surface des quatre faces. Si vous y ajoutez l'aire de la base carrée (a2{displaystyle a^{2}}

), vous obtenez l'aire totale de la pyramide. La formule se présente comme suit: At=a2+2bh{displaystyle A_{t}=a^{2}+2bh}

• Dans cette formule, a{displaystyle a}


est le côté du carré qui forme la base de la pyramide et h{displaystyle h}



est la hauteur d'un des triangles latéraux, laquelle se trouve être également ce qu'on appelle « l'apothème » de la pyramide.

• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the apothem and the side of the square base

The apothem (h { displaystyle h}

) est la pente de la pyramide, ce segment qui va du sommet de la pyramide à la base, coupant au passage cette dernière à angle droit. Mesurez aussi la longueur (a{displaystyle a}

) du côté de la base carrée de la pyramide, utilisez une règle et soyez précis dans vos mesures. Il est inutile de mesurer l'autre côté, puisque la base est carrée.

• Exemple: h=3 cm{displaystyle h=3\ cm}

• Exemple: a=1 cm{displaystyle a=1\ cm}

Step 3. Calculate the area of ​​the square base

You can do this by squaring the length of the side, or if you prefer, multiplying it by itself.

• Example: a2 = a × a = 1 × 1 = 1 cm2 { displaystyle a ^ {2} = a \ times a = 1 \ times 1 = 1 \ cm ^ {2}}

  

Step 4. Calculate the total area of ​​the four triangular faces

What you are calculating here is actually the lateral area (Al { displaystyle A_ {l}}

) de la pyramide, composée de quatre triangles égaux. La formule est la suivante: Al=2ah{displaystyle A_{l}=2ah}

, a{displaystyle a}

étant le côté de la base carrée et h{displaystyle h}

, l'apothème de la pyramide. Le fait de multiplier par 2 donne l'aire latérale.

• Exemple: 2×a×h=2×1×3=6 cm2{displaystyle 2\times a\times h=2\times 1\times 3=6\ cm^{2}}

Step 5. Sum the areas

Add the area of ​​the base of the pyramid and that of the side surface: you get the total area of ​​the pyramid.

• Example: a2 + 2ah = 1 + 6 = 7 cm2 { displaystyle a ^ {2} + 2ah = 1 + 6 = 7 \ cm ^ {2}}

  

Méthode 7 sur 7: Calculer l'aire de surface d'un cône

Step 1. Remember the formula for the surface area of ​​a cone

Such a solid is composed of a circular base and a side surface that ends at a point above the base. To calculate its total surface area, you must first calculate that of the circular base, then that of the side surface, then you will add the two. The calculation formula is therefore the following: A = πr2 + πra { displaystyle A = \ pi r ^ {2} + \ pi ra}

, formule dans laquelle r{displaystyle r}

est le rayon de la base circulaire, a{displaystyle a}

, l'apothème du cône, et π{displaystyle \pi }

, la constante bien connue, dont la valeur approchée est 3, 14.

• Les unités d'aire de surface sont des unités de longueur élevées au carré: mm², cm², m², etc.

Step 2. Measure the radius and height of the cone

The radius (r { displaystyle r}

) est la longueur qui va du centre du cercle à un des points du cercle. La hauteur (h{displaystyle h}

) est, quant à elle, la longueur qui va du sommet du cône au centre de la base. Le erreurs de mesure s'expliquent par une mauvaise localisation du centre.

• Exemple: r=2 cm{displaystyle r=2\ cm}

• Exemple: h=4 cm{displaystyle h=4\ cm}

Step 3. Calculate the apothem (a { displaystyle a}

) du cône.

L'apothème d'un cône est en fait l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés sont le sommet du cône, le centre de la base et un point du cercle de base. Vous devez donc utiliser le théorème de Pythagore. La formule de calcul est la suivante: a=(r2+h2){displaystyle a={sqrt {(r^{2}+h^{2})}}}

, formule dans laquelle r{displaystyle r}

est le rayon et h{displaystyle h}

, la hauteur du cône.

• Exemple: a=(r2+h2)=(2×2)+(4×4)=4+16=20=4, 47 cm{displaystyle a={sqrt {(r^{2}+h^{2})}}={sqrt {(2\times 2)+(4\times 4)}}={sqrt {4+16}}={sqrt {20}}=4, 47\ cm}

Step 4. Determine the area of ​​the circular base

Since the base is a circle, the formula for the area is: πr2 { displaystyle \ pi r ^ {2}}

. Après avoir mesuré le rayon, vous l'élevez au carré (vous le multipliez par lui-même), puis vous multipliez le résultat obtenu par π{displaystyle \pi }

• Exemple: π×r2=3, 14×2×2=12, 56 cm2{displaystyle \pi \times r^{2}=3, 14\times 2\times 2=12, 56\ cm^{2}}

Step 5. Calculate the lateral area of ​​the cone

Use the following formula: πra { displaystyle \ pi ra}

, dans laquelle r{displaystyle r}

est le rayon du cercle et a{displaystyle a}

, l'apothème obtenu précédemment. Multipliez les trois éléments et vous aurez la surface latérale.

• Exemple: πra=3, 14×2×4, 47=28, 07 cm2{displaystyle \pi ra=3, 14\times 2\times 4, 47=28, 07\ cm^{2}}

Step 6. Add the two areas

To obtain the desired result, all you have to do is add these two dimensions. Take care that your result is consistent.

• Example: πr2 + πra = 12, 56 + 28, 07 = 40, 63 cm2 { displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi ra = 12, 56 + 28, 07 = 40, 63 \ cm ^ {2} }