7 ways to simplify radical expressions

7 ways to simplify radical expressions
7 ways to simplify radical expressions
Anonim

An expression is said to be radical when it contains at least one root, of any order. Even if it does not look like it, a root in a mathematical expression can be considered as an unknown and as such, it must be reduced to its simplest expression in order to be easy to use for calculations. subsequent. Depending on the type and location of the root, the simplification passes various methods that can be used successively to give a reduced algebraic expression.

Steps

Method 1 of 7: Know the principles of simplification

Step 1. Learn some terminology

The square root of n { displaystyle n}

n

se note ainsi: n{displaystyle {sqrt {n}}}

{sqrt {n}}

. Légèrement différente est sa racine cubique qui se présente ainsi: n3{displaystyle {sqrt[{3}]{n}}}

{sqrt[{3}]{n}}

. En toute logique, la racine carrée de n{displaystyle n}

n

devrait figurer sous la forme:

n2{displaystyle {sqrt[{2}]{n}}}

{sqrt[{2}]{n}}

, mais comme on les utilise très souvent en mathématiques, le petit 2 n'a pas besoin d'être inscrit.

Étape 2. Sachez ce qu'est une expression radicale réduite

Certaines conditions doivent être remplies. Votre expression avec des racines est réduite quand vous n'avez plus:

  • de fraction sous le radical,
  • d'exposants fractionnaires,
  • de produits de racines du même ordre,
  • de racines en dénominateur dans une fraction,
  • de carrés sous le radical.
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Step 3. Review the properties of roots and powers

In fact, the roots are values ​​raised to fractional powers. If necessary, review the simplification and factorization of polynomials.

Method 2 of 7: Simplify roots with perfect powers (1er case)

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Step 1. Always consider that the radicand can be a perfect square

A perfect square is simply the product of a value by itself, like 81 which is the product of 9 by 9. To make the root of a perfect square disappear, replace it entirely with the value that, squared, gives the radicand.

  • For example, 121 is a perfect square, since it is the result of the product of 11 by 11. That is why 121 = 112 = 11 { displaystyle { sqrt {121}} = { sqrt {11 ^ {2}}} = 11}

    {sqrt {121}}={sqrt {11^{2}}}=11
  • Si vous vous destinez à faire des mathématiques, retenez quelques carrés parfaits, comme 1 (1 x1), 4 (2 x 2), 9 (3 x 3), 16 (4 x 4), 25 (5 x 5), 36 (6 x 6), 49 (7 x 7), 64 (8 x 8), 81 (9 x 9), 100 (10 x 10), 121 (11 x 11)…
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Step 2. Calculate all the cube roots of the perfect cubes

A perfect cube is the result of the product of a value three times by itself, like 27 which is the product of 3 by 3 by 3. To make the cube root of a perfect cube disappear, replace- the entirely by the value which, raised to the cube, gives the radicand.

  • Take the example of 343 which is a perfect cube, since it is the triple product of 7 (7 x 7 x 7 = 343). So 3433 = 733 = 7 { displaystyle { sqrt [{3}] {343}} = { sqrt [{3}] {7 ^ {3}}} = 7}

    {sqrt[{3}]{343}}={sqrt[{3}]{7^{3}}}=7

Méthode 3 sur 7: Simplifier une racine grâce aux puissances parfaites (2e cas)

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Step 1. Break down the radicand into a factor product

To break it down means to find all of its factors. The factors of a number are all numbers that exactly divide the number in question. So, 20 is the product of 5 by 4, but there are others. The goal is to find among the factors a perfect square and to do this, we have to decompose the radicand into products of prime factors.

  • Take 45 { displaystyle { sqrt {45}}}

    {sqrt {45}}

    . Le radicande se décompose ainsi:

    45=1×45=3×15=9×5{displaystyle 45=1\times 45=3\times 15=9\times 5}

    45=1\times 45=3\times 15=9\times 5

    . Un seul produit contient un carré parfait (Étape 9.), c'est que l'on retiendra: 45=9×5{displaystyle {sqrt {45}}={sqrt {9\times 5}}}

    {sqrt {45}}={sqrt {9\times 5}}
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Step 2. Take out all the perfect squares from the root

In our example, we have individualized 9 that we are going to get out of the root. This one is worth 3, value which we will put in coefficient of the remaining root. If you had to reintegrate the coefficient under the root, you would first multiply it by itself, then by the value remained in radicand. With practice, you will go fast.

  • To summarize, we therefore have:

    45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 35 { displaystyle { sqrt {45}} = { sqrt {9 \ times 5}} = { sqrt {9}} times { sqrt {5}} = 3 { sqrt {5}}}

    {sqrt {45}}={sqrt {9\times 5}}={sqrt {9}}\times {sqrt {5}}=3{sqrt {5}}
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Step 3. See if the radicand contains a perfect square

A square root is by definition always positive, so that: a2 = | a | { displaystyle { sqrt {a ^ {2}}} = | a |}

{sqrt {a^{2}}}=|a|

. Si a{displaystyle a}

a

s'avère être une valeur positive, alors, selon une des propriétés de la valeur absolue, a2=a{displaystyle {sqrt {a^{2}}}=a}

{sqrt {a^{2}}}=a

, et a2=−a{displaystyle {sqrt {a^{2}}}=-a}

{sqrt {a^{2}}}=-a

dans le cas contraire. La racine carrée d'une valeur au cube peut se décomposer en un produit de la racine de la valeur au carré par la racine de la valeur: a3=a2×a{displaystyle {sqrt {a^{3}}}={sqrt {a^{2}}}\times {sqrt {a}}}

{sqrt {a^{3}}}={sqrt {a^{2}}}\times {sqrt {a}}
  • Tout cube parfait est le produit de deux termes dont l'un est un carré parfait et l'autre la base: a3=a2(a){displaystyle a^{3}=a^{2}(a)}
  • a^{3}=a^{2}(a)
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Step 4. Take the perfect square out of the root

The square root of a squared value and the value itself. Mathematically, this gives the following theoretical equality: a3 = aa { displaystyle { sqrt {a ^ {3}}} = a { sqrt {a}}}

{sqrt {a^{3}}}=a{sqrt {a}} 1378211 16 1

Step 5. Group the roots of the same order and having the same radicand

You add their coefficients and you keep the root unchanged:

23 + 2 = 22 + 2 = 32 { displaystyle { sqrt {2 ^ {3}}} + { sqrt {2}} = 2 { sqrt {2}} + { sqrt {2}} = 3 { sqrt {2}}}

{sqrt {2^{3}}}+{sqrt {2}}=2{sqrt {2}}+{sqrt {2}}=3{sqrt {2}}

Méthode 4 sur 7: Simplifier une racine grâce aux puissances fractionnaires

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Step 1. Locate the fractional exponents

Transform them into a root of proper order using the rule that: xab = xab { displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{b}] {x ^ {a }}}}

x^{{{frac {a}{b}}}}={sqrt[{b}]{x^{a}}}
  • Prenons comme exemple la racine 3/2 de 4, vous pouvez la transformer ainsi: 432=432=43=23=8{displaystyle {sqrt[{frac {3}{2}}]{4}}={sqrt[{2}]{4^{3}}}={sqrt {4^{3}}}=2^{3}=8}
  • {sqrt[{{frac {3}{2}}}]{4}}={sqrt[{2}]{4^{3}}}={sqrt {4^{3}}}=2^{3}=8
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Step 2. Know how to convert a negative exponent

Such an exponent becomes positive if we take its inverse, which gives the following rule: x − y = 1xy { displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}

x^{{-y}}={frac {1}{x^{y}}}
  • Cette règle ne s'applique que dans les cas où x{displaystyle x}
  • x

    et y{displaystyle y}

    y

    sont des valeurs numériques, entières comme fractionnaires. Si vous travaillez sur des valeurs littérales, ne touchez pas aux exposants négatifs.

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Step 3. Group terms with the same power.

Simplify by doing the root calculations and the various sums.

Method 5 of 7: Simplify a root containing a fraction

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Step 1. Locate a fractional radicand

It is therefore found under the sign of the root (√).

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Step 2. Replace these fraction roots with root fractions

To achieve this, use the following rule: ab = ab { displaystyle { sqrt { frac {a} {b}}} = { frac { sqrt {a}} { sqrt {b}}}}

{sqrt {{frac {a}{b}}}}={frac {{sqrt {a}}}{{sqrt {b}}}}
  • Cette propriété ne vaut que si a≥0{displaystyle a\geq 0}
  • a \ geq 0 />
<p> and 0

    Step 3. Simplify when there is a perfect square

    Take the example 54 { displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

    {sqrt {{frac {5}{4}}}}

    . Sous forme d'un quotient de racines, cela donne: 54=54{displaystyle {sqrt {frac {5}{4}}}={frac {sqrt {5}}{sqrt {4}}}}

    {sqrt {{frac {5}{4}}}}={frac {{sqrt {5}}}{{sqrt {4}}}}

    . 4 est un carré parfait, si bien que: 54=52{displaystyle {frac {sqrt {5}}{sqrt {4}}}={frac {sqrt {5}}{2}}}

    {frac {{sqrt {5}}}{{sqrt {4}}}}={frac {{sqrt {5}}}{2}} 1378211 10 1

    Step 4. Make other simplifications

    Sometimes expressions are complex, like a quotient of two fractions. In these cases, transform the quotient into a product, calculate the roots, then do the various calculations: the goal is to simplify the fractions.

    Method 6 of 7: Simplify a root product

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    Step 1. Learn how to propagate roots

    If you have to make the product of two roots, you will get a single root using the following property:

    a × b = ab { displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {ab}}}

    {sqrt {a}}\times {sqrt {b}}={sqrt {ab}}

    . C'est ainsi que: 2×6=12{displaystyle {sqrt {2}}\times {sqrt {6}}={sqrt {12}}}

    {sqrt {2}}\times {sqrt {6}}={sqrt {12}}
    • Cette propriété ne vaut que si les radicandes sont positifs ou nuls (a≥0{displaystyle a\geq 0}
    • a\geq 0

      et b≥0{displaystyle b\geq 0}

      b\geq 0

      ). En effet, un nombre négatif n'a pas de racine et vous ne pouvez pas écrire l'égalité suivante: −1×−1=1{displaystyle {sqrt {-1}}\times {sqrt {-1}}={sqrt {1}}}

      {sqrt {-1}}\times {sqrt {-1}}={sqrt {1}}

      . Certes, −1{displaystyle {sqrt {-1}}}

      {sqrt {-1}}

      est indéfini dans l'ensemble des réels (R{displaystyle \mathbb {R} }

      {mathbb {R}}

      ), mais il admet une solution, le nombre i{displaystyle i}

      i

      , dans l'ensemble des nombres complexes (C{displaystyle \mathbb {C} }

      {mathbb {C}}

      ). Si dans un problème, vous rencontrez un radicande négatif, comme avec −5{displaystyle {sqrt {-5}}}

      {sqrt {-5}}

      , commencez par changer le signe du radicande en sortant de la racine le nombre i{displaystyle i}

      i

      , comme suit: −5=−1×5=i×5=i5{displaystyle {sqrt {-5}}={sqrt {-1}}\times {sqrt {5}}=i\times {sqrt {5}}=i{sqrt {5}}}

      {sqrt {-5}}={sqrt {-1}}\times {sqrt {5}}=i\times {sqrt {5}}=i{sqrt {5}}

      . Si le radicande contient une variable (x{displaystyle x}

      x

      ), rien de tout cela n'est possible (la démonstration en est complexe).

    • Ce qui vient d'être dit ne fonctionne que sur des racines de même ordre (carrées, cubiques…). Avec des racines d'ordres différents, comme le produit 5×73{displaystyle {sqrt {5}}\times {sqrt[{3}]{7}}}
    • {sqrt {5}}\times {sqrt[{3}]{7}}

      , transformez-les en valeurs avec la puissance correspondante: 512×713{displaystyle 5^{frac {1}{2}}\times 7^{frac {1}{3}}}

      5^{{{frac {1}{2}}}}\times 7^{{{frac {1}{3}}}}

      . Réduisez les exposants au même dénominateur: 536×726{displaystyle 5^{frac {3}{6}}\times 7^{frac {2}{6}}}

      5^{{{frac {3}{6}}}}\times 7^{{{frac {2}{6}}}}

      . Ramenez le numérateur à 1: 12516×4916{displaystyle 125^{frac {1}{6}}\times 49^{frac {1}{6}}}

      125^{{{frac {1}{6}}}}\times 49^{{{frac {1}{6}}}}

      , puis faites le produit des bases: 6 12516{displaystyle 6\ 125^{frac {1}{6}}}

      6\ 125^{{{frac {1}{6}}}}

      . Retransformez en racine:

      6 1256{displaystyle {sqrt[{6}]{6\ 125}}}

      {sqrt[{6}]{6\ 125}}

    Méthode 7 sur 7: Rendre entier un dénominateur contenant des racines

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    Step 1. Know that there can be no roots in the denominator

    The latter must be an integer, at the limit a polynomial.

    • If the denominator comes down to a single root, like x5 { displaystyle { frac {x} { sqrt {5}}}}

      {frac {x}{{sqrt {5}}}}

      , alors multipliez le numérateur et le dénominateur par cette même racine afin d'avoir un entier, ce qui donne dans notre exemple:

      x5=x555=x55{displaystyle {frac {x}{sqrt {5}}}={frac {x{sqrt {5}}}{{sqrt {5}}{sqrt {5}}}}={frac {x{sqrt {5}}}{5}}}

      {frac {x}{{sqrt {5}}}}={frac {x{sqrt {5}}}{{sqrt {5}}{sqrt {5}}}}={frac {x{sqrt {5}}}{5}}
      • Pour obtenir un dénominateur rationnel avec une racine d'ordre 3 ou supérieur, multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine appropriée. Si le dénominateur est, par exemple, 5n{displaystyle {sqrt[{n}]{5}}}
      • {sqrt[{n}]{5}}

        , alors multipliez le numérateur et le dénominateur par (5n)n−1{displaystyle ({sqrt[{n}]{5}})^{n-1}}

        ({sqrt[{n}]{5}})^{{n-1}}
    • Si le dénominateur est une somme de racines carrées, à l'image de

      A=x2+6{displaystyle A={frac {x}{{sqrt {2}}+{sqrt {6}}}}}

      A={frac {x}{{sqrt {2}}+{sqrt {6}}}}

      , multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée, c'est-à-dire la même expression avec le signe opposé, ce qui donne: A=x2+6=x(2−6)(2+6)(2−6){displaystyle A={frac {x}{{sqrt {2}}+{sqrt {6}}}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}}+{sqrt {6}})({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}}}

      A={frac {x}{{sqrt {2}}+{sqrt {6}}}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}}+{sqrt {6}})({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}}

      . Appliquez ensuite l'identité remarquable qui pose que:

      (a+b)(a−b)=a2−b2{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}

      (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

      . Avec notre exemple, nous obtenons:

      A=x(2−6)(2+6)(2−6)=x(2−6)(2)2−(6)2{displaystyle A={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}}+{sqrt {6}})({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}})^{2}-({sqrt {6}})^{2}}}}

      A={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}}+{sqrt {6}})({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{({sqrt {2}})^{2}-({sqrt {6}})^{2}}}

      A=x(2−6)2−6=x(2−6)−4{displaystyle A={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{2-6}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{-4}}}

      A={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{2-6}}={frac {x({sqrt {2}}-{sqrt {6}})}{-4}}
      • Cette méthode fonctionne aussi avec des dénominateurs du type 5+3{displaystyle 5+{sqrt {3}}}
      • 5+{sqrt {3}}

        . Il faut toujours multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. Soit l'expression

        B=15+3{displaystyle B={frac {1}{5+{sqrt {3}}}}}

        B={frac {1}{5+{sqrt {3}}}}

        , elle se simplifie comme suit:

        B=1(5−3)(5+3)(5−3)=5−352−(3)2{displaystyle B={frac {1(5-{sqrt {3}})}{(5+{sqrt {3}})(5-{sqrt {3}})}}={frac {5-{sqrt {3}}}{5^{2}-({sqrt {3}})^{2}}}}

        B={frac {1(5-{sqrt {3}})}{(5+{sqrt {3}})(5-{sqrt {3}})}}={frac {5-{sqrt {3}}}{5^{2}-({sqrt {3}})^{2}}}

        B=5−325−3=5−322{displaystyle B={frac {5-{sqrt {3}}}{25-3}}={frac {5-{sqrt {3}}}{22}}}

        B={frac {5-{sqrt {3}}}{25-3}}={frac {5-{sqrt {3}}}{22}}
      • Cette méthode marche aussi avec une somme de plusieurs racines, comme 5−6+7{displaystyle {sqrt {5}}-{sqrt {6}}+{sqrt {7}}}
      • {sqrt {5}}-{sqrt {6}}+{sqrt {7}}

        . Il suffit de grouper ainsi:

        (5−6)+7{displaystyle ({sqrt {5}}-{sqrt {6}})+{sqrt {7}}}

        ({sqrt {5}}-{sqrt {6}})+{sqrt {7}}

        , puis de multiplier par la conjuguée

        (5−6)−7{displaystyle ({sqrt {5}}-{sqrt {6}})-{sqrt {7}}}

        ({sqrt {5}}-{sqrt {6}})-{sqrt {7}}

        . Bien sûr, vous aurez encore une racine, car la réponse sera de la forme a+b30{displaystyle a+b{sqrt {30}}}

        a+b{sqrt {30}}

        , a et b étant des nombres rationnels. Partant de là, vous continuerez en multipliant par la conjuguée et vous n'aurez plus de racine, car (a+b30)(a−b30){displaystyle (a+b{sqrt {30}})(a-b{sqrt {30}})}

        (a+b{sqrt {30}})(a-b{sqrt {30}})

        est un nombre rationnel (a2−30b2{displaystyle a^{2}-30b^{2}}

        a^{2}-30b^{2}

        ). Répétez l'opération jusqu'à complète disparition des racines.

      • Assez logiquement, un dénominateur qui serait une somme de racines d'ordres différents, comme 34+97{displaystyle {sqrt[{4}]{3}}+{sqrt[{7}]{9}}}
      • {sqrt[{4}]{3}}+{sqrt[{7}]{9}}

        peut se simplifier, comme cela a été dit dit précédemment, en utilisant l'expression conjuguée. Le résultat n'est pas immédiat et suppose d'autres calculs conjugués ou autres: on est ici dans un cas un peu complexe, mais vous devriez y arriver.

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    Step 2. Now simplify the numerator

    To simplify the denominator, the numerator is presented in a complex form of sums and products. It should therefore be simplified by calculating the products of roots and taking the sum of identical roots.

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    Step 3. If the denominator is negative, change its sign

    To do this, multiply the fraction by −1−1 { displaystyle { frac {-1} {- 1}}}

    {frac {-1}{-1}}

    . cette dernière fraction est égale à 1, ce qui fait que la fraction de départ reste inchangée, mais les signes du numérateur et du dénominateur sont inversés et ce dernier est désormais positif.

    conseils

    • il existe des sites internet, des calculatrices qui réduisent les expressions polynomiales, à l'image de ce site. vous entrez votre radicande, vous cliquez sur calculer et vous obtenez une expression réduite.
    • que l'expression radicale contienne une fraction ou non, il convient de la simplifier jusqu'à sa plus simple expression. parfois, elle est irréductible dès le départ, dans d'autres cas, il faut faire les sommes et les produits (simples, comme conjugués). lorsque vous ne pouvez plus rien simplifier, considérez que l'expression est irréductible. si vous avez oublié une simplification, il est possible que vous vous en aperceviez après coup, lors de calculs ultérieurs: vous simplifieriez à ce moment-là.
    • à la liste des conventions citées dans la première méthode, on peut ajouter qu'un dénominateur ne doit pas contenir le nombre complexe i{displaystyle i}
    • i

      . pour le faire disparaitre, il convient de se souvenir que: i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}

      i^{2}=-1

      . en multipliant le numérateur et le dénominateur par i{displaystyle i}

      i

      , vous rendez ce dernier rationnel.

    • cet article fait la part belle aux racines carrées que l'on rencontre très souvent dans les exercices au lycée ou dans le supérieur, mais il vous arrivera aussi d'être confronté à des racines n-ième. il ne faut pas vous laisser impressionner, appliquez les propriétés de base des racines et vous devriez vous en tirer, même si les calculs sont plus longs et requièrent une plus grande attention.
    • il n'existe pas vraiment, comme cela a été écrit précédemment, de forme canonique des expressions contenant des racines. le but de la simplification est d'obtenir la forme la plus réduite. ensuite, peu importe que vous écriviez, par exemple, 1+2{displaystyle 1+{sqrt {2}}}
    • 1+{sqrt {2}}

      ou 2+1{displaystyle {sqrt {2}}+1}

      {sqrt {2}}+1

      . racines ou non, l'addition est toujours commutative, et plus généralement, les règles d'algèbre s'appliquent à elles comme aux autres expressions, les polynômes pour ne citer qu'eux. simplifier s'envisage soit dans le cadre d'une réponse finale soit d'un calcul à venir complexe.

    • nous avons vu différentes façons de simplifier une expression contenant des racines. au début, vous tâtonnerez entre faire les produits simples, multiplier par la conjuguée et additionner. avec l'expérience, d'un coup d'œil, vous ferez les opérations dans un ordre logique.

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